1. Conjuntos.
Entenderemos por conjunto una colección o familia de objetos a los que denominaremos elementos. Habitualmente los conjuntos se simbolizan mediante letras mayúsculas, y sus elementos con minúsculas. Se a es un elemento del conjunto A, diremos que pertenece a A y escribiremos:
a ∈ A
Un conjunto A queda totalmente determinado si se conocen todos sus elementos. Existen básicamente dos formas de especificar un conjunto:
§ Por extensión o enumeración: Refiriendo todos sus elementos, que se escriben entre llaves y separados por comas. Por ejemplo, el conjunto A formado por las letras vocales se puede escribir como:
A = {a, e, i, o, u}.
§ Por comprensión: Dando la propiedad (o propiedades) que caracteriza a los elementos del conjunto. Para el caso anterior, escribiremos:
Ejemplos 1.1. Algunos conjuntos numéricos son
1. El conjunto de los números naturales,
N = {0, 1, 2,. . .}
2. El conjunto de los números enteros,
Z = {. . ., −2, −1, 0, 1, 2,. . .}
3. El conjunto de los números racionales,
Q = { m/n: m, n ∈ Z, n ≠0}
4. El conjunto de los números reales,
R
5. El conjunto de los números complejos,
C = {a + bi : a, b ∈ R}.
A veces resulta posible determinar el número de elementos de un conjunto A. Diremos entonces que el conjunto es finito y representaremos por |A| este número. En otro caso diremos que el conjunto es infinito.
2. Subconjuntos.
Diremos que un conjunto B es subconjunto de un conjunto A o que B esta contenido en A, si todos los elementos de B son a su vez elementos de A, es decir,
b ∈ B ⇒ b ∈ A.
En tal caso escribiremos B ⊆ A.
Cualquier conjunto A es subconjunto de sı mismo, al que se llama subconjunto impropio. El resto de subconjuntos se dicen propios.
Diremos que dos conjuntos A y B son iguales, y escribimos A = B, si
B ⊆ A y A ⊆ B,
o lo que es lo mismo, si ambos poseen los mismos elementos.
En caso contrario diremos que los conjuntos A y B son distintos, y lo denotaremos por A ≠ B.
Escribiremos A ⊂ B para indicar que A ⊆ B y A ≠ B.
Para un conjunto numérico cualquiera A, representaremos por A∗ al subconjunto de A formado por todos los elementos de A a excepción del cero. Igualmente, A+ representa al subconjunto de A formado por los elementos no negativos y A− al de los elementos no positivos.
Ejemplo 1.2. Se tiene la siguiente cadena de inclusiones, para los conjuntos numéricos conocidos:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Es importante observar que la relación de inclusión tiene sentido exclusivamente entre conjuntos, y la de pertenencia solo entre un elemento y un conjunto.
Así por ejemplo, dado el conjunto A formado por las letras vocales, escribiremos que {a} ⊆ A y sin embargo pondremos a ∈ A.
Definición 1.1 (Conjunto Universal). Cuando se trabaja con conjuntos, se llama conjunto universal a
un conjunto tal que tiene como subconjuntos a todos los conjuntos en consideración. Lo denotaremos por
U. El conjunto universal puede variar de unas ocasiones a otras, dependiendo de la colección de conjuntos con que estemos trabajando.
Definición 1.2 (Complementario de un conjunto). Sea A un subconjunto de un conjunto U. Llamaremos complementario de A en U y lo denotaremos por A’u U, al subconjunto de U formado por los elementos de U que no pertenecen a A’, esto es,
A′ u = {x ∈ U : x /∈ A}.
Cuando no resulte necesario especificar el universal U escribiremos simplemente A′ o Ac.
Definición 1.3 (Conjunto vacío). Al considerar en U el complementario del propio U se hace necesario introducir un conjunto que no tenga elementos; lo llamaremos conjunto vacío y lo designaremos por conjunto vacío.
Ejemplo 1.3. Si tomamos
U = {1, 2, 3, 4, 5, x, {1, 2}, {4, 7, 9}, {1, 2, 3, 4}}
y consideramos A = {1, 2, 3, 4}, son correctas las expresiones
A ⊆ U, A ⊂ U, A ∈ U, {A} ⊂ U, {A} /∈ U, {{4, 7, 9}} ⊂ U
mientras que la relación {4, 7, 9} ⊂ U es falsa.
Si para el mismo conjunto
U = {1, 2, 3, 4, 5, x, {1, 2}, {4, 7, 9}, {1, 2, 3, 4}}
tomamos ahora B = {4, 5, x, {1, 2}, {1, 2, 3, 4}}, podemos escribir
A ∈ B, {A} ⊆ B, {A} ⊂ B,
pero no podemos poner
A ⊂ B, 1 ∈ B.
Ejercicio 1.1. Consideremos el conjunto de cuatro elementos
A = { Ø, a, {a}, b}
¿Cuales de las siguientes expresiones son correctas y cuales son incorrectas?
Ø ∈ A; a ∈ A; {a} ∈ A; b ∈ A; {a, b} ∈ A; {{a}} ∈ A;
Ø ⊂ A; a ⊂ A; {a} ⊂ A; b ⊂ A; {a, b} ⊂ A; {{a}} ⊂ A.
Solución: Como el conjunto A = { Ø, a, {a}, b} tiene cuatro elementos, la relación x ∈ A solo se puede poner correctamente de cuatro formas distintas:
Ø ∈ A, a ∈ A, {a} ∈ A, b ∈ A.
Por tanto, aunque en general Ø ∈ A y {a} ∈ A no son expresiones siempre correctas, en este caso podemos decir que
Ø ∈ A, a ∈ A, {a} ∈ A, b ∈ A, {a, b} /∈ A, {{a}} /∈ A.
En general, cualquier conjunto contiene al subconjunto vacío, por lo que Ø ⊂ A es siempre correcto. Además a ⊂ A no es correcta, pues la relación de contenido se escribe entre dos conjuntos y no entre un elemento y un conjunto. En este caso, a la vista de los elementos de A podemos concluir que las relaciones
Ø ⊂ A, {a} ⊂ A, {a, b} ⊂ A, {{a}} ⊂ A,
son correctas, mientras que
a ⊂ A, b ⊂ A,
no lo son.
3. Partes de un conjunto
Sea A un conjunto cualquiera. Llamaremos conjunto de las partes de A o conjunto potencia de A y lo denotaremos por P(A), al que tiene por elementos los subconjuntos de A, es decir,
P(A) = {B : B ⊆ A}.
Se verifica entonces que B ∈ P(A) ⇔ B ⊆ A.
Ejemplo 1.4. El conjunto de las partes de A = {a, b, c} es
P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c},A}.
Si A es un conjunto de n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos, esto es, A tiene 2n subconjuntos.
4. Operaciones con conjuntos
4.1. Intersección de conjuntos
Dados los subconjuntos A y B de U, se define la intersección de A y B, A ∩ B, como el conjunto formado por los elementos de U que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente, es decir,
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}.
Ejemplo 1.6. Si A = {x : x es una letra vocal } y B = {a, b, c, d, e}, entonces
A ∩ B = {a, e}.
Dos subconjuntos A y B de un conjunto U son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, es decir, si A ∩ B = Ø.
4.2. Unión de conjuntos
Dados los subconjuntos A y B de U, se define la unión de A y B, A ∪ B, como el conjunto formado por los elementos de U que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos, es decir,
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}.
Ejemplo 1.7. Si A = {x : x es una letra vocal } y B = {a, b, c, d, e}, entonces
A ∪ B = {a, b, c, d, e, i, o, u}.
Ejercicio 1.2. Dados los siguientes intervalos de R,
A = {x ∈ R : 5 < x ≤ 10} = (5, 10], B = {x ∈ R : 3 ≤ x < 7} = [3, 7),
C = {x ∈ R : 6 < x ≤ 12} = (6, 12], D = {x ∈ R : 2 < x < 4} = (2, 4),
calcula los conjuntos
A ∪ B, B ∪ C, A′, D′, A′ ∩ (C ∪ D),
A ∪ (B ∩ C), A − B, C − D ((A ∩ B) ∪ C)′.
Solución: Los intervalos dados son
A = (5, 10], B = [3, 7), C = (6, 12], D = (2, 4).
y es inmediato llegar a que
A ∪ B = [3, 10], B ∪ C = [3, 12]
A′ = (−∞, 5] ∪ (10,+∞) D′ = (−∞, 2] ∪ [4,+∞)
A′ ∩ (C ∪ D) = (2, 4) ∪ (10, 12] A ∪ (B ∩ C) = (5, 10]
A − B = [7, 10] C − D = C
((A ∩ B) ∪ C)′ = (−∞, 5] ∪ (12,+∞)
4.3. Propiedades de las Operaciones
§ Idempotencia: ∀A ⊆ U,
A ∩ A = A, A ∪ A = A.
§ Conmutativa: ∀A,B ⊆ U,
A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A.
§ Asociativa: ∀A,B,C ⊆ U,
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
§ De absorción: ∀A,B ⊆ U,
A ∩ (B ∪ A) = A, A ∪ (B ∩ A) = A.
§ Distributiva: ∀A,B,C ⊆ U,
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
§ Existencia de elemento neutro: ∃ Ø / ∀A ⊆ U,
A ∩ Ø = Ø, A ∪ Ø = A.
§ Existencia de elemento universal: ∃U/ ∀A ⊆ U,
A ∩ U = A, A ∪ U = U.
§ Existencia de complementario: ∀A ⊆ U, ∃A′/
A ∩ A′ = Ø, A ∪ A′ = U.
§ Leyes de Morgan: ∀A,B ⊆ U
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′, (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′.
Ejercicio 1.3. Prueba las siguientes equivalencias, siendo A,B ⊆ U:
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A′ ∪ B = U ⇔ A ∩ B′ = Ø
Solución: Haremos una prueba circular, comprobando que de cada expresión se obtiene la siguiente y de la ultima la primera.
§ A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B
Puesto que B ⊆ A ∪ B, basta ver la relación
A ∪ B ⊆ B.
En efecto, como A ⊆ B,
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A o x ∈ B ⇒ x ∈ B,
luego A ∪ B ⊆ B.
§ A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A
Como A ∩ B ⊆ A bastara ver que A ⊆ A ∩ B.
Así,
x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B = B ⇒ x ∈ B
y por tanto x ∈ A ∩ B.
De otro modo, si A ∪ B = B,
A ∩ B = A ∩ (A ∪ B) = A
por absorción.
§ A ∩ B = A ⇒ A′ ∪ B = U
Tomando complementarios en la expresión
A ∩ B = A
obtenemos
A′ = (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
y en consecuencia
A′ ∪ B = (A′ ∪ B′) ∪ B = U.
§ A′ ∪ B = U ⇒ A ∩ B′ = Ø
De nuevo, tomando complementarios en
U = A′ ∪ B
resulta
Ø = U′ = (A′ ∪ B)′ = A ∩ B′.
§ A ∩ B′ = Ø ⇒ A ⊆ B
Si A ∩ B′ = Ø, entonces dado x ∈ A no puede ser x ∈ B′, pues tendríamos x ∈ A ∩ B′ = Ø.
Por tanto,
x ∈ A ⇒ x ∈ B,
es decir, A ⊆ B.
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