Algebra Lineal: Teoremas más importantes relativos a retículos.

En matemática, un retículo es una determinada estructura algebraica con dos operaciones binarias, o bien un conjunto parcialmente ordenado con ciertas propiedades específicas (siendo equivalentes ambos enfoques). El término "retículo" viene de la forma de los diagramas de Hasse de tales órdenes.

Teoremas

- Proposición 1 : Todo retículo finito (X,≤) esta acotado.

- Teorema 2 : Un retículo (X,∧,∨) es no distributivo si, y solo si, tiene un subrepticio de cinco elementos isomorfo a alguno de los retículos R1 o R2 ya conocidos.

- Proposición 3 : En un retículo (X,∧,∨,O, I) distributivo y acotado, el complementario de cada elemento, si existe, es único

- Teorema 4 : En un retículo (X,∧,∨) distributivo y finito, todo elemento se expresa, de forma única salvo el orden, como disyunción de elementos disyuntivamente irreducibles no comparables.

- Teorema 5 : En un retículo complementario, los elementos disyuntivamente irreducibles distintos del neutro son átomos

- Teorema 6 : En un retículo distributivo, complementario y finito, todo elemento distinto del neutro se escribe, de forma única salvo el orden, como disyunción de átomos

Retículos distributivos

Observes que cuando un retículo es distributivo los teoremas anteriores no nos sirven para probarlo (el hecho de que todo elemento se exprese de forma única como disyunción de elementos disyuntivamente irreducibles no significa que el retículo sea distributivo, como tampoco debe serlo necesariamente si cada elemento tiene un complementario o ninguno; solo podrá usarse el teorema 2: podría probarse, hallando todos los subrepticios de cinco elementos, que ninguno es isomorfo a R1 o a R2).

Sin embargo, podemos llegar a la conclusión de que un retículo no es distributivo da varia maneras, usando los teoremas anteriores.

* Directamente, probando que existen elementos ax, y, za tales que ax ∧ (y ∨ za) 6= (ax ∧ y) ∨ (ax ∧ za), o bien que ax ∨ (y ∧ za) 6= (ax ∨ y) ∧ (ax ∨ za) (por definición).

* Probando la existencia de algún subrepticio isomorfo a R1 o a R2 (teorema 2.).

* Demostrando que algún elemento puede expresarse de dos o mas formas distintas como disyunción de elementos disyuntivamente irreducibles no comparables (teorema 4).

* Comprobando que algún elemento tiene dos o mas complementarios (proposición 3).

Retículos complementarios

Como antes, cuando un retículo es complementario no nos sirven los teoremas para probarlo; la única forma de demostrar que un retículo es complementario es comprobar que cada elemento tiene un único complementario (por ejemplo, del hecho de que los elementos disyuntivamente irreducibles distintos de O sean átomos no se puede deducir que el retículo deba ser complementario).

Si un retículo no es complementario, podemos probarlo de dos maneras distintas:

* Directamente, probando que hay elementos sin complementario o bien con mas de un complementario (por definición).

* Comprobando que existen elementos distintos de O que son disyuntivamente irreducibles pero no son átomos (teorema 5).