(1) Objetivo:
Determinar el coeficiente dieléctrico del aire a partir del estudio de la capacidad de un condensador plano-paralelo.
(2) Metodología:
El tipo de condensador más frecuente se compon de dos láminas conductoras paralelas y separadas por una distancia que es pequeña comparada con las dimensiones lineales de las láminas. Prácticamente, todo el campo de este condensador está localizado en el espacio comprendido entre las láminas. Hay una ligera dispersión del campo hacia el exterior, pero se hace relativamente menor a medida que disminuye la separación de las láminas. Si las láminas están suficientemente próximas, la dispersión puede despreciarse, el campo entre las láminas es uniforme, y las cargas de éstas están uniformemente repartidas sobre sus superficies opuestas. Este dispositivo se denomina condensador de láminas paralelas o simplemente, condensador plano.
Supongamos en primer lugar que tenemos el condensador plano en el vacío. Y las siguientes formulas teóricas relacionadas.
Se ha demostrado que la intensidad del campo eléctrico entre un par de láminas paralelas muy próximas y en el vacío es: ( 1 )
Para ello construiremos una tabla con tres columnas donde recogeremos C, d y 1/d.
Realizaremos el ajuste por mínimos cuadrados y si observamos la expresión (3) vemos que C será la ordenada o "y", y 1/d será la abcisa o "x". A partir de la ecuación (5) obtendremos el valor de y su error correspondiente.
(4) Resultados :
Hemos realizado un ajuste por mínimos cuadrados entre la variable " C " y la variable "1/d", que ha dado los siguientes resultados:
Resultados del ajuste por mínimos cuadrados
Pendiente( m ) = 4’4558329794 x 10^-1 Error ( m ) = 3,4556426991x 10^-3
Ordenado (n) = 2,2765905229
Error ( n ) = 4,1666518002 x 10^-1
Correlación = 9’9960928631 x 10^-1
Con el diámetro del condensador, calculamos el valor aceptado de la superficie
D = 25’6 cm => D=0’256 ± 0’001 m
S= (π/4) x D2
S = 0’053093 m2
Con la siguiente expresión calculamos el valor aceptado
= m / S = 8’393 x 10^-12
El error absoluto que acompaña al valor aceptado lo calculamos aplicando la teoría de errores:
RESULTADO FINAL
Permitividad del Aire = (8’393 ± 0’007) x 10^-12
(5) Gráfica
Siendo S el área de las láminas y q la carga de cada una. Puesto que la intensidad del campo eléctrico o gradiente del potencial es uniforme entre las láminas, la diferencia de potencial entre ellas será: ( 2 )
Siendo d la separación de las láminas. Por consiguiente, la capacidad de un condensador plano en el vacío es:
( 3 )
Utilizando unidades del Sistema Internacional, S se expresa en metros cuadrados, y d en metros. La capacidad C resultará entonces en faradios. Si despejamos el valor de se obtiene: ( 4 )
se obtiene: ( 4 )Expresándose el valor de ε0 en F/m
Relación de formulas:
=> y=mx+n ; y = C ; m=< xS ---- =m / S ; x = 1 / d
(3) Datos experimentales:
Utilizaremos un condensador de placas plano paralelas cuya distancia entre placas podemos variar.
Determinaremos el diámetro de la placa D y calcularemos la superficie de la misma.
Variaremos la distancia entre las placas en intervalos de 2 mm hasta obtener quince parejas de datos.
Si observamos la ecuación (3) podemos ver que existe una relación lineal entre la capacidad del condensador y la inversa de la distancia entre placas. Con lo cual realizando un ajuste por mínimos cuadrados entre estas dos variables obtendremos un valor de la pendiente que se relaciona con la permitividad del aire a través de la expresión
Relación de formulas:
=> y=mx+n ; y = C ; m=
< xS ---- =m / S ; x = 1 / d(3) Datos experimentales:
Utilizaremos un condensador de placas plano paralelas cuya distancia entre placas podemos variar.
Determinaremos el diámetro de la placa D y calcularemos la superficie de la misma.
Variaremos la distancia entre las placas en intervalos de 2 mm hasta obtener quince parejas de datos.
Si observamos la ecuación (3) podemos ver que existe una relación lineal entre la capacidad del condensador y la inversa de la distancia entre placas. Con lo cual realizando un ajuste por mínimos cuadrados entre estas dos variables obtendremos un valor de la pendiente que se relaciona con la permitividad del aire a través de la expresión
Para ello construiremos una tabla con tres columnas donde recogeremos C, d y 1/d.
Realizaremos el ajuste por mínimos cuadrados y si observamos la expresión (3) vemos que C será la ordenada o "y", y 1/d será la abcisa o "x". A partir de la ecuación (5) obtendremos el valor de y su error correspondiente.
(4) Resultados :
Hemos realizado un ajuste por mínimos cuadrados entre la variable " C " y la variable "1/d", que ha dado los siguientes resultados:
Resultados del ajuste por mínimos cuadrados
Pendiente( m ) = 4’4558329794 x 10^-1 Error ( m ) = 3,4556426991x 10^-3
Ordenado (n) = 2,2765905229
Error ( n ) = 4,1666518002 x 10^-1
Correlación = 9’9960928631 x 10^-1
Con el diámetro del condensador, calculamos el valor aceptado de la superficie
D = 25’6 cm => D=0’256 ± 0’001 m
S= (π/4) x D2
S = 0’053093 m2
Con la siguiente expresión calculamos el valor aceptado
= m / S = 8’393 x 10^-12El error absoluto que acompaña al valor aceptado lo calculamos aplicando la teoría de errores:
Error()= 0’007 x 10^-12
)= 0’007 x 10^-12RESULTADO FINAL
Permitividad del Aire = (8’393 ± 0’007) x 10^-12
(5) Gráfica
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